An isoperimetric inequality on the lp balls

The normalised volume measure on the lp unit ball (1 ≤ p ≤ 2) satisfies the following isoperimetric inequality: the boundary measure of a set of measure a is at least cnã log(1/ã), where ã = min(a, 1− a). Résumé Nous prouvons une inégalité isopérimétrique pour la mesure uniforme Vp,n sur la boule unité de l n p (1 ≤ p ≤ 2). Si Vp,n(A) = a, alors V + p,n(A) ≥ cn ã log 1/ã, où V + p,n est la mesure de surface associée à Vp,n, ã = min(a, 1− a) et c est une constante absolue. En particulier, les boules unités de lp vérifient la conjecture de Kannan– Lovász–Simonovits [KLS] sur la constante de Cheeger d’un corps convexe isotrope. La démonstration s’appuie sur les inégalités isopérimétriques de Bobkov [B1] et de Barthe–Cattiaux–Roberto [BCR], et utilise la représentation de Vp,n établie par Barthe–Guédon–Mendelson–Naor [BGMN] ainsi qu’un argument de découpage.